Взаимное расположение двух плоскостей. Расположение точек относительно плоскости

Пусть $\sigma_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0$, а $\sigma_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$. Тогда плоскости $\sigma_{1}, \sigma_{2}$: 1) пересекаются $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \lor \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}$ 2) параллельны $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}} \neq \dfrac{D_{1}}{D_{2}}$ 3) совпадают $\iff \dfrac{A_{1}}{A_{2}} = \dfrac{B_{1}}{B_{2}} = \dfrac{C_{1}}{C_{2}} = \dfrac{D_{1}}{D_{2}}$

$\large{\impliedby}$ Рассмотрим систему линейных уравнений: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z = -D_{1} \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z = -D_{2} \end{cases}$$ Ясно, что плоскости $\sigma_{1}, \sigma_{2}$: 1) пересекаются $\iff$ система имеет решение, но уравнения не равносильны 2) параллельны $\iff$ система не имеет решений 3) совпадают $\iff$ уравнения системы равносильны Рассмотрим 1 случай и придадим $z$ значение 0, тогда система имеет вид: $$\begin{cases} A_{1}x + B_{1}y = -D_{1} \\ A_{2}x + B_{2}y = -D_{2} \end{cases} ~~~~~~~~~(*)$$ $\dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}} \Rightarrow \begin{vmatrix}A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2}\end{vmatrix} \neq 0$, поэтому система имеет единственное решение по теореме Крамера (обозначим его за $(x_{0},y_{0})$), а значит $(x_{0}, y_{0}, 0)$ - решение исходной системы, а значит $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ либо пересекаются, либо совпадают. От противного: $\sigma_{1} = \sigma_{2}$. Так как $M_{0}(x_{0}, y_{0}, 0) \in Oxy$ (плоскость $z = 0$), а значит пересечение $\sigma_{1}$ с $Oxy$ содержит прямую, а значит $\exists{M_{1}(x_{1},y_{1},0) \neq M_{0}}~~ \Rightarrow (x_{1}, y_{1})$ - ещё одно решение системы $(*)$, противоречие. Случаи 2) и 3) доказываются аналогично доказательству о взаимном расположении прямых на плоскости. $\large{\implies}$ Доказывается аналогично упомянутой выше теореме, через аргумент с разбиением на взаимоисключающие случаи.

Пусть $M(x', y', z')$ - произвольная точка пространства, $\lambda$ и $\mu$ - полупространства. Тогда: $$\begin{align} M \in \lambda &\iff Ax' + By' + Cz' + D > 0 \\ M \in \mu &\iff Ax' + By' + Cz' + D < 0 \end{align}$$

$P(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ и $Q(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ расположены по одну сторону от плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ тогда и только тогда, когда $Ax_{1} + By_{1} + Cz_{1} + D$ и $Ax_{2} + By_{2} + Cz_{2} + D$ имеет одинаковый знак, иначе - по разные стороны.